Blue
02-03-2020, 17:11
متتالية فيبوناتشي هي واحدةٌ من أشهرِ المتتاليات العدديّةِ، حدودها الأولى:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
بملاحظةٍ بسيطةٍ نجدُ أنّ كلَّ حدٍّ من حدودِ المتتاليةِ (بدءاً من الحدِّ 2) ينتج عن جَمِعِ الحَدَّينِ السّابقَين له، مثلاً:
2=1+1
3=1+2
5=2+3
8=3+5
وهكذا. وبالتّالي فإنّ العددَ التّالي في المتتاليةِ أعلاه هو 55+89=144، ونظريّاً فإنَّ هذه المتتاليةَ تسعى نحو اللّانهاية.
من أين جاءت فكرةُ هذهِ المتتالية؟
سُميَّت فيبوناتشي نسبةً إلى الرّياضي ليوناردو فيبوناتشي الّذي عاش في القرنِ الثّاني عشر والّذي كانَ يهتمُّ بمسائلَ غريبةٍ. بدأ فيبوناتشي فكرتَه بتخيُّلِ أنَّ لديه زوجاً صغيراً مختلفَ النّوعِ من الأرانبِ الصّغيرةِ ( ذكرٌ وَأنثى).
بعدَ شهر كَبِرَ الأرنَبَان طبعاً.
وبعدَ الشّهرِ الثّاني أنجبَ الأرنبان أرنَبَين صغيرَين جديدَين مُختلفَي النّوع أيضاً.
بعدَ الشّهرِ الثّالثِ أنجبَ الزّوجُ الأوَّلُ زوجاً جديداً (ذكروَأنثى) وكَبُرَ الزّوج الثّاني، بالتّالي أصبح لدينا ثلاثُ أزواجٍ من الأرانب.
مرّةً جديدةً وبعدَ شهرٍ آخرَ وُلِدَ لكلِّ زوجٍ كبيرٍ زوجاً صغيرأ مُختلف النّوع وكَبِرَ كلُّ زوجٍ صغيرٍ.
طرح فيبوناتشي السّؤال التّالي: كم سيصبحُ عددُ أزواجِ الأرانبِ بعدَ سنةٍ إذا كانتِ الأرانب لاتمرض ولاتموت وكلُّ زوجٍ بالغٍ يَلِدُ شهرياً زوجاً مختلطاً من الأرانبِ والزّوجُ الصغيرُ يحتاجُ لشهرٍ حتّى يصبحَ قادراً على الإنجاب.
لاحظ فيبوناتشي أنّ عددَ أزواجِ الأرانبِ البالغةِ في أيِّ شهرٍ وليكن An يساوي عددَ الأرانبِ الكليّ ( الكبيرةِ والصغيرةِ) في الشّهرِ السّابقِ وليكن 1ــRn
كما أدركَ أنَّ عددَ أزواجِ الأرانبِ الصّغيرةِ في شهرٍ ما Bn يساوي عددَ أزواجِ الأرانبِ الكبيرةِ في الشّهرِ السّابقِ 1ــAn والّذي يساوي بدورهِ عددَ أزواجِ الأرانبِ الكليِّ في الشَّهر الّذي يسبقه 2ــRn.
ولذلك، فإنّ العدد الكليَّ لأزواجِ الأرانبِ الكبيرةِ والصغيرةِ في شهرٍ معيّنٍ هو مجموعُ إجماليِّ عددِ أزواجِ الأرانبِ في الشَّهرَين السّابقَين.
بالتّالي بدءاَ من زوجٍ واحدٍ ستتولد متتاليةٌ مطابقةٌ للمتتالية الّتي عرضنا حدودَها في بدايةِ المقالِ وعليهِ وَبعدَ 12 شهراً سنجدُ أنَّ عددَ أزواجِ الأرانبِ أصبحَ 144 زوجاً.
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
بملاحظةٍ بسيطةٍ نجدُ أنّ كلَّ حدٍّ من حدودِ المتتاليةِ (بدءاً من الحدِّ 2) ينتج عن جَمِعِ الحَدَّينِ السّابقَين له، مثلاً:
2=1+1
3=1+2
5=2+3
8=3+5
وهكذا. وبالتّالي فإنّ العددَ التّالي في المتتاليةِ أعلاه هو 55+89=144، ونظريّاً فإنَّ هذه المتتاليةَ تسعى نحو اللّانهاية.
من أين جاءت فكرةُ هذهِ المتتالية؟
سُميَّت فيبوناتشي نسبةً إلى الرّياضي ليوناردو فيبوناتشي الّذي عاش في القرنِ الثّاني عشر والّذي كانَ يهتمُّ بمسائلَ غريبةٍ. بدأ فيبوناتشي فكرتَه بتخيُّلِ أنَّ لديه زوجاً صغيراً مختلفَ النّوعِ من الأرانبِ الصّغيرةِ ( ذكرٌ وَأنثى).
بعدَ شهر كَبِرَ الأرنَبَان طبعاً.
وبعدَ الشّهرِ الثّاني أنجبَ الأرنبان أرنَبَين صغيرَين جديدَين مُختلفَي النّوع أيضاً.
بعدَ الشّهرِ الثّالثِ أنجبَ الزّوجُ الأوَّلُ زوجاً جديداً (ذكروَأنثى) وكَبُرَ الزّوج الثّاني، بالتّالي أصبح لدينا ثلاثُ أزواجٍ من الأرانب.
مرّةً جديدةً وبعدَ شهرٍ آخرَ وُلِدَ لكلِّ زوجٍ كبيرٍ زوجاً صغيرأ مُختلف النّوع وكَبِرَ كلُّ زوجٍ صغيرٍ.
طرح فيبوناتشي السّؤال التّالي: كم سيصبحُ عددُ أزواجِ الأرانبِ بعدَ سنةٍ إذا كانتِ الأرانب لاتمرض ولاتموت وكلُّ زوجٍ بالغٍ يَلِدُ شهرياً زوجاً مختلطاً من الأرانبِ والزّوجُ الصغيرُ يحتاجُ لشهرٍ حتّى يصبحَ قادراً على الإنجاب.
لاحظ فيبوناتشي أنّ عددَ أزواجِ الأرانبِ البالغةِ في أيِّ شهرٍ وليكن An يساوي عددَ الأرانبِ الكليّ ( الكبيرةِ والصغيرةِ) في الشّهرِ السّابقِ وليكن 1ــRn
كما أدركَ أنَّ عددَ أزواجِ الأرانبِ الصّغيرةِ في شهرٍ ما Bn يساوي عددَ أزواجِ الأرانبِ الكبيرةِ في الشّهرِ السّابقِ 1ــAn والّذي يساوي بدورهِ عددَ أزواجِ الأرانبِ الكليِّ في الشَّهر الّذي يسبقه 2ــRn.
ولذلك، فإنّ العدد الكليَّ لأزواجِ الأرانبِ الكبيرةِ والصغيرةِ في شهرٍ معيّنٍ هو مجموعُ إجماليِّ عددِ أزواجِ الأرانبِ في الشَّهرَين السّابقَين.
بالتّالي بدءاَ من زوجٍ واحدٍ ستتولد متتاليةٌ مطابقةٌ للمتتالية الّتي عرضنا حدودَها في بدايةِ المقالِ وعليهِ وَبعدَ 12 شهراً سنجدُ أنَّ عددَ أزواجِ الأرانبِ أصبحَ 144 زوجاً.